世界上zui的砝碼組合

某天正當(dāng)發(fā)發(fā)由于和老祖共同研發(fā)的狂幣發(fā)行受挫，沮喪之極而狂喝悶酒的時(shí)候，“叮呤呤”，提起話筒聽，原來是二傻從X星上的空間站回來了，并帶來了個(gè)令人不安的消息，他說X星上的空間站由于出了意外，所有的砝碼均被毀壞，站長(zhǎng)派他火速回地球帶組新砝碼去，具體要求是：

（1） 能稱量從1克到3280克的所有整數(shù)克，但砝碼的總質(zhì)量不能過3280克。
（2） 砝碼的數(shù)量盡量要少，空間站站長(zhǎng)德•梅齊里亞克要求不過8個(gè)砝碼。

二傻已經(jīng)跑遍了*上所有的衡器廠，都沒人敢接下這個(gè)定單，算他幸運(yùn)的是，竟然還記得我這個(gè)來自天狗星（二傻不讓俺去天狼星，所以只好住到天狼星的隔壁天狗星上）的發(fā)明狂----發(fā)發(fā)。我安慰他說，“傻兄，您放心，這對(duì)于我們天狗星的人來說，那是小菜碟，連三歲的小孩子都辦得到，您明天早來取貨就行了”，約定好取貨時(shí)間后，他還不斷的叮囑“記住，砝碼的總數(shù)量不能過8個(gè)！總質(zhì)量也不能過3280克！就是過微克都是犯罪??！”。我說：“這個(gè)我知道，根據(jù)老愛的公式：E=mc^2,在接近光速飛行時(shí)，就算是微不足道的微克質(zhì)量也需要消耗掉難以想象的能量，不過您放心去睡吧，誰叫咱倆是好朋友呢，我不替您分憂，誰替您分憂？”。聽我這么說他才肯走，但走時(shí)的眼光連白癡都看得出充滿了不信任。。。

我可不想浪費(fèi)時(shí)間去研究他的目光，趕緊撥通老祖的，向他定做了下面這組砝碼：

（1）1克，
（2）3克，
（3）9克，
（4）27克，
（5）81克，
（6）243克，
（7）729克，
（8）2187克。

共8種，每種定做個(gè)。
老祖是何等高手！轉(zhuǎn)眼就給弄出8只絕美的金剛砝碼如下：

看著這些美麗無比而魅力無窮的堪稱世界上zui的天狗星砝碼組合，發(fā)發(fā)突然想起，多數(shù)地球人的智商還不如咱天狗星的三歲小孩，如果不仔細(xì)說明其中來龍去脈，恐怕地球人不相信也不會(huì)正確使用這些砝碼。想到這，趕緊提筆寫下了世界上zui的砝碼組合的數(shù)學(xué)原理及使用手冊(cè)。

、數(shù)學(xué)原理：

用天平稱量物體實(shí)際上是把物體放在個(gè)托盤上，然后在兩個(gè)托盤上分別加上適當(dāng)?shù)捻来a，使得天平保持平衡，這時(shí)物體的質(zhì)量就等于這兩個(gè)托盤上砝碼各自質(zhì)量之和的差值。這樣來，世界上zui砝碼組合問題就轉(zhuǎn)變成純數(shù)學(xué)的整數(shù)*拆分問題了：

如何將3280分解成些較小的數(shù)（正整數(shù)，下同），取出部分這些數(shù)（每個(gè)數(shù)在次運(yùn)算中只能使用次，即滿足砝碼的*性）行或加或減的運(yùn)算就能得到個(gè)新的數(shù)。而且用這種方法得到的數(shù)集里必須含了從1到3280的所有正整數(shù)。

（1） 先讓我們來看理論上能不能做到。假設(shè)這樣的組數(shù)存在，我們?cè)O(shè)為n個(gè)，從小到分別為：A1,A2,…,An即：A1<A2<…<An（n為正整數(shù)）現(xiàn)在我們來看這組數(shù)是如何組成個(gè)新的數(shù)的。

K1A1+ K2A2+….+KnAn （其中k1,k2,….,kn的取值只能是-1，0，+1這三個(gè)數(shù)，n是正整數(shù)）

根據(jù)要求，我們知道A1,A2,…,An這組數(shù)必須滿足下面這些條件：

A1+A2+…+An=3280 …………………①

K1A1+ K2A2+….+KnAn 當(dāng)k1到kn取完所有的可能值時(shí)，至少能產(chǎn)生3280個(gè)數(shù)字 ，而這些數(shù)字里還必須有1至3280的所有正整數(shù)。 .................②

式子②所能產(chǎn)生的數(shù)字個(gè)數(shù)問題實(shí)際上又是排列組合問題，K1,K2,…,Kn每個(gè)都有三種取值的可能，所以所能組成的數(shù)字的總個(gè)數(shù)P=3^n。這些數(shù)字中有0，有正整數(shù)，也有負(fù)整數(shù)，由于對(duì)稱性，正整數(shù)和負(fù)整數(shù)的個(gè)數(shù)是樣多的。所以實(shí)際產(chǎn)生的正整數(shù)的總個(gè)數(shù)應(yīng)該是：T=（P-1）/2=（3^n-1）/2.

設(shè)T=3280，（如果此式能成立，則剛好能產(chǎn)生1到3280的所有正整數(shù)）

即：T=（P-1）/2=（3^n-1）/2.=3280。
解之得： n=8

這就從理論上證明了3280能分成8個(gè)較少的數(shù)字，并且從這8個(gè)數(shù)字中取出m（m<=8的正整數(shù)）個(gè)行或加或減所生成的所有正整數(shù)剛好就是1至3280的所有自然正整數(shù)。

（2） 既然理論上是可以做到的，那我們就實(shí)際來做做。

顯然： A1=1， 因?yàn)?是自然數(shù)的始祖，少了它肯定不行。

那么A2是多少呢？ A2與1可以組成的數(shù)字：A2-1，A2，A2+1，顯然A2-1=2，解之得： A2=3

有了1和3這兩個(gè)數(shù)字我們就能產(chǎn)生數(shù)字：1，2，3，4

增加A3后，我們又能增加這些數(shù)：
A3-4，A3-3，A3-2，A3-1，A3，A3+1，A3+2 ，A3+3，A3+4
同理A3-4=5，解之得：A3=9
。。。。。。

同理我們可以得到A4=27，A5=81，A6=243，A7=729，X8=2187

現(xiàn)在讓我們驗(yàn)證方程①是否成立，
A1+A2+…+An=1+3+9+27+81+243+729+2187=3280
方程①成立。

到此我們不但在理論上而且在實(shí)際上也找到了這8個(gè)數(shù)字了，它們分別是

1 3 9 27 81 243 729 2187


二、使用手冊(cè)

砝碼的使用問題歸根結(jié)底是數(shù)學(xué)問題，所以我們?cè)谶@里就說數(shù)學(xué)問題吧。也就是說如何用1 3 9 27 81 243 729 2187這8個(gè)原始數(shù)字表示1至3280的某個(gè)具體的數(shù)字，先讓我們來做幾道簡(jiǎn)單的算術(shù)題：

1
1+3=4
1+3+9=13
1+3+9+27= 40
1+3+9+27+81=121
1+3+9+27+81+243=364
1+3+9+27+81+243+729=1093
1+3+9+27+81+243+729+2187=3280

我們把1至3280的所有正整數(shù)分在7個(gè)區(qū)間里，它們分別是：
Q1= [1 4] 1∈Q1，3∈Q1
Q2=（4 13] 9∈Q2
Q3=（13 40] 27∈Q3
Q4=（40 121] 81∈Q4
Q5=（121 364] 243∈Q5
Q6=（364 1093] 729∈Q6
Q7=（1093 3280] 2187∈Q7
其中“（”表示開區(qū)間，“]”表示閉區(qū)間。
.
顯然,給我們?nèi)魏蝹€(gè)數(shù)A（1<=A<=3280），我們先看A屬于哪個(gè)區(qū)間，在哪個(gè)區(qū)間就取也同在那個(gè)區(qū)間的那個(gè)原始數(shù)字來做減數(shù)與A相減，比如數(shù)字A與原始數(shù)字B1在同區(qū)間，則A可以表示成
A=B1+K1 或A=B1-K1 ……. ①

現(xiàn)在再看K1在哪個(gè)區(qū)間，如果K1和原始數(shù)字B2在同區(qū)間，則K1可表示成
K1=B2+K2 或K1=B2-K2 ………②

依此類推，只到所有的數(shù)字都變成原始數(shù)字為止。即
……………………………………………….
Kn-1=Bn+Kn 或Kn-1=Bn-Kn ……….（n）

（其中A，B，K，n都是正整數(shù)）

這時(shí)將式（n）代入式（n-1）, 式（n-1）代入式（n-2）……式②代入式①
這樣全部用原始數(shù)字表示的數(shù)字A就完成了。下面用具體的數(shù)字為例加以說明。

例（1）用天平稱取2008克物品。即A=2008
解：
2008∈Q7， 2187∈Q7，所以
2008=2187-179

179∈Q5， 243∈Q5，并且179= 243-64
所以
2008=2187-243+64
64∈Q4 ， 81∈Q4，并且64=81-17
所以
2008=2187-243+81-17
17∈Q3， 27∈Q3，并且17=27-10
所以
2008=2187-243+81-27+10
10∈Q2， 9∈Q2， 并且10=9+1
所以

2008=2187-243+81-27+9+1

又因?yàn)?是原始數(shù)字，所以到這里就可以O(shè)K了。

在使用天平稱取2008克物品時(shí)，243克，27克的砝碼和物品放在同邊托盤上，2187克，81克，9克，1克的砝碼放在另邊托盤上即可，當(dāng)天平平衡時(shí)，這時(shí)物品的質(zhì)量就是2008克。

例（2）用天平稱取1997克物品，即A=1997
解
1997∈Q7， 2187∈Q7
所以 1997=2187-190

190∈Q5，243∈Q5，并且 190=243-53
所以 1997=2187-243+53

53∈Q4，81∈Q4，并且 53=81-28
所以 1997=2187-243+81-28

28∈Q3，27∈Q3，并且28=27+1
所以 1997=2178-243+81-27-1

8∈Q2，9∈Q2，并且 8=9-1
所以 1997=2178-243+81-27-1

在使用天平稱取1997克物品時(shí)，物品和質(zhì)量為243克，27克，1克的砝碼放在個(gè)托盤上，2178克，81克的砝碼放在另托盤上，當(dāng)天平平衡時(shí)，此時(shí)物品的質(zhì)量即為1997克。

習(xí)題：
1，世界上zui的砝碼組合9顆砝碼應(yīng)該是多少克？
2，世界上zui的砝碼組合的n顆砝碼應(yīng)該是多少克？
3，德•梅齊里亞克的法碼問題：
個(gè)商人有個(gè)40磅的砝碼，由于跌落在地而碎成4塊。后來，稱得每塊碎片的重量都是整磅數(shù)，而且可以用這4塊來稱從1至40磅之間的任意整數(shù)磅的重物。問這4塊砝碼片各重多少？

參考資料：
① Problèmes plaisants et délectabled qui se font par les nombres
② Quarterly Journal of Mathematics, vol. XXI, 1886

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